Konsep sudut kedudukan diwarisi daripada pelayaran nautika di lautan, iaitu laluan kompas yang optimum ialah laluan dari kedudukan s yang diketahui ke kedudukan sasaran t dengan usaha yang minimum. Mengetepikan pengaruh angin dan arus lautan, laluan optimum ialah laluan jarak terkecil antara dua kedudukan di permukaan laut. Pengiraan laluan kompas dikenali sebagai masalah songsang geodesik.

Rencana ini hanya mempertimbangkan abstraksi untuk meminimumkan jarak antara s dan t yang bergerak di atas permukaan sfera dengan beberapa jejari R : Ke arah mana sudut p relatif kepada Utara kapal harus mengemudi untuk mencapai kedudukan sasaran?

Sistem koordinat geosentrik global

Sudut kedudukan titik t pada titik s ialah sudut bulatan besar hijau dan putus-putus bersilang di s. Arah unit uE, uN dan paksi putaran ω ditandakan dengan anak panah.

Penilaian terperinci arah optimum adalah mungkin jika permukaan laut dianggarkan oleh permukaan sfera. Pengiraan piawai meletakkan kapal pada latitud geodetik φs dan longitud geodetik λs, iaitu φ dianggap positif jika utara khatulistiwa, dan λ dianggap positif jika timur Greenwich. Dalam sistem koordinat global yang berpusat di tengah sfera, komponen Cartesan adalah

s = R ( cos ⁡ φ s cos ⁡ λ s cos ⁡ φ s sin ⁡ λ s sin ⁡ φ s ) {\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}

dan kedudukan sasaran ialah

t = R ( cos ⁡ φ t cos ⁡ λ t cos ⁡ φ t sin ⁡ λ t sin ⁡ φ t ) . {\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}

Kutub Utara berada di

N = R ( 0 0 1 ) . {\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}

Jarak minimum d ialah jarak sepanjang bulatan agung yang melalui s dan t. Ia dikira dalam satah yang mengandungi pusat sfera dan bulatan agung,

d s , t = R θ s , t {\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}

iaitu θ ialah jarak sudut dua titik yang dilihat dari pusat sfera, diukur dalam radian. Kosinus sudut dikira dengan hasil darab titik dua vektor

s ⋅ t = R 2 cos ⁡ θ s , t = R 2 ( sin ⁡ φ s sin ⁡ φ t + cos ⁡ φ s cos ⁡ φ t cos ⁡ ( λ t − λ s ) ) {\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}

Jika kapal menghala terus ke Kutub Utara, jarak perjalanan ialah

d s , N = R θ s , N = R ( π / 2 − φ s ) {\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}

Jika sebuah kapal bermula pada t dan bergerak terus ke Kutub Utara, jarak perjalanan ialah

d t , N = R θ t , n = R ( π / 2 − φ t ) {\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}